Apply Schur Compliment to Force Equilibrium Equation

\begin{align} 
\begin{bmatrix}
K & B^T \\
B & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U \\
\lambda
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
F \\
0
\end{bmatrix}
 \end{align} 

S_D = D - C A^{-1} B

M^{-1} =
\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\\
\begin{bmatrix} I & 0 \\ -S_D^{-1} C A^{-1} & I \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & S_D^{-1} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I & -A^{-1} B \\ 0 & I \end{bmatrix}
=\\
\begin{bmatrix}
A^{-1} + A^{-1} B S_D^{-1} C A^{-1} & -A^{-1} B S_D^{-1} \\
- S_D^{-1} C A^{-1} & S_D^{-1}
\end{bmatrix}

S_D=0-CK^{-1}B^T=-BK^{-1}B^T

M^{-1} =
\begin{bmatrix}
K^{-1} + K^{-1} B^T S_D^{-1} B K^{-1} & -K^{-1} B^T S_D^{-1} \\
- S_D^{-1} B A^{-1} & S_D^{-1}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} I & 0 \\ -S_D^{-1} B K^{-1} & I \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} K^{-1} & 0 \\ 0 & S_D^{-1} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I & -K^{-1} B^T \\ 0 & I \end{bmatrix}